2023普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测试卷(六)6数学考试试卷

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2023普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测试卷(六)6数学试卷答案

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3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）探究：当△MF₁N的内切圆的面积最大时，直线l的倾斜角是多少．

分析求出双曲线的焦点，利用y=$\frac{3}{4}$x是双曲线S的一条渐近线，求出a，b，即可求出双曲线S的方程．

解答解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{34}$=1的焦点坐标为（0，±5），∴c=5，
∵y=$\frac{3}{4}$x是双曲线S的一条渐近线，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{4}$，
∵a²+b²=25，
∴a=3，b=4，
∴双曲线S的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{16}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

点评本题考双曲线S的方程，考查双曲线的性质，属于中档题．