[南充一诊]四川省南充市高2023届高考适应性考试(一诊)数学考试试卷

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[南充一诊]四川省南充市高2023届高考适应性考试(一诊)数学试卷答案

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5．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}，x≤0}\\{{{log}_2}x，x＞0}\end{array}}\right.$
（1）在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）利用图象求f（x）=$\frac{1}{2}$时x的值；
（3）当0＜f（x）＜$\frac{1}{2}$时，求x的取值范围．

分析已知向量等式移向，平方求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}$得出A，B，C三点在圆心的同一侧，从而得出圆周角∠C的大小；由AB=1求出$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，把$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{AB}$用$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$表示，展开后得答案．

解答解：∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$-5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}$，
两边平方可得：$9|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+24\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$$+16|\overrightarrow{OB}{|}^{2}$=$25|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$．
∵A，B，C在圆上，设OA=OB=OC=1．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}$，可知A，B，C三点在圆心的同一侧，
∴根据圆周角定理知∠C=180°-$\frac{1}{2}$90°=135°；
故答案为：135°；
若AB=1，则$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=$（\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=$\frac{1}{5}$．
故答案为：135°；$\frac{1}{5}$．

点评本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形外心的性质和应用，解题的关键是对于所给的向量式的整理，注意向量运算法则的灵活运用，是中档题．