2023届云南省高三考试卷12月联考(23-186C)数学考试试卷

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2023届云南省高三考试卷12月联考(23-186C)数学试卷答案

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8．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ+1=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数）．
（Ⅰ）求直线L和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点Q，使得Q到直线L的距离最小，并求出这个最小值．

分析（1）利用直线系才得到方程组求解即可．
（2）通过点与圆的位置关系，判断直线与圆的位置关系．
（3）利用垂径定理求解即可．

解答（13分）．
解：（1）由l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
得（2x+y-7）m+x+y-4=0
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y-7=0\\x+y-4=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=1\end{array}\right.$，
∴直线l过定点（3，1）
（2）∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
∴（3，1）在圆C内
由（1）可知直线l与圆C恒相交
（3）记l过的定点（3，1）为A点，显然当l与CA垂直时弦长最短，
∴弦长最小值为$2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$，
此时${k_{CA}}=\frac{2-1}{1-3}=-\frac{1}{2}$，则k_l=2，
∴直线l的方程为2x-y-5=0

点评本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查计算能力．