2023届名校名师测评卷(1一)数学考试试卷

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18．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（p+q）a_n-pqa_n-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）若p=2，设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），证明：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）对任意的n∈N^*，设c_n=a_n+1-qa_n，证明：“数列{c_n}为常数列”的充要条件是“p=1”．

分析设f（x）=x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1，则f（x）是偶函数，且f（0）=0是其唯一解，从而a_n+1=2a_n+1，进而${a}_{n}+1={2}^{n}$，${a}_{n}={2}^{n}-1$，由此b_n=na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，利用分组求和法和错位相减法求出${S}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2-\frac{n（n+1）}{2}$，由此能求出S₉．

解答解：∵数列{a_n}中a₁=1，关于x的方程x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1=0有唯一解，
∴设f（x）=x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1，
则f（x）是偶函数，
由题意得f（x）=0有唯一解，
∴f（0）=0是其唯一解，
∴0²-a_n+1•tan1+（2a_n+1）•tan1=0
a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，${a}_{n}={2}^{n}-1$，
∴b_n=na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）
=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹-n（n+1），②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${S}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2-\frac{n（n+1）}{2}$．
∴S₉=8×2¹⁰+2-45=8149．
故选：D．

点评本题考查数列的前9项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、构造法、分组求和法和错位相减法的合理运用．