衡水金卷先享题2022-2023学年度上学期高三二调考试(老高考)文数试题考试试卷

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12．曲线C₁上任意一点M满足|MF₁|+|MF₂|=4，其中F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）抛物线C₂的焦点是直线y=x-1与x轴的交点，顶点为原点O．
（1）求C₁，C₂的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交于不同两点M，N，且满足$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

分析先算出$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的表达式，根据x的取值范围，求出$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的最值．

解答解：由已知可得：F₁的坐标为（-$\sqrt{5}$，0），
设P（x，y），
则$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-x，-y）•（-$\sqrt{5}$-x，-y）=x²+$\sqrt{5}$x+y²=x²+$\sqrt{5}$x+$\frac{{x}^{2}}{4}-1$=$\frac{5}{4}$x²+$\sqrt{5}$x-1=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+1）²-2，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．
∴当x=-2时，$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的最小值为：4-2$\sqrt{5}$，
故答案为：4-2$\sqrt{5}$

点评本题主要考查了双曲线的性质，平面向量的数量积，函数的值域，是中档题．