2022年新高考联考协作体 衡水金卷先享题高二10月联考数学考试试卷

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18．某人从银行贷款100万元，以后每年还款13.5万元，10年还清，问银行贷款的年利率是多少？

分析（1）由S_n=2（a_n-n）=2a_n-2n，n∈N^+*，得S_n-1=2a_n-1-2（n-1），n≥2，从而a_n+2=2（a_n-1+2），n≥2，由此能证明{a_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，并能求出{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=$lo{g}_{2}（{a}_{n}+2）=lo{g}_{2}{2}^{n+1}$=n+1，得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，由此利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和．

解答证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2（a_n-n）=2a_n-2n，n∈N^+*，
∴S_n-1=2a_n-1-2（n-1），n≥2，
∴S_n-S_n-1=a_n=2a_n-2a_n-1-2，n≥2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），n≥2，
当n=1时，S₁=2a₁-2=a₁，解得a₁=2，a₁+2=4，
∴{a_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴${a}_{n}+2=4×{2}^{n-1}={2}^{n+1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n+1}-2$．
（2）∵b_n=$lo{g}_{2}（{a}_{n}+2）=lo{g}_{2}{2}^{n+1}$=n+1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．

点评本题考查等比数列的证明和数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用．