耀正文化2023届名校名师测评卷(二)(湖南四大名校联合编审) 数学考试试卷

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20．实数a＞1，b＞1是a+b＞2的（　　）

	A．	充分不必要条件		B．	必要不充分条件
	C．	充要条件		D．	既不充分也不必要条件

分析过D作DE⊥AC，义AC于E，过D作DF⊥BC，交BC于F，由CF=$\sqrt{3}$，DF=1，从而$\frac{\sqrt{3}}{y}$=$\frac{x-1}{x}$，由此能求出x，y满足的相等关系式是y=$\frac{\sqrt{3}x}{x-1}$，（x＞1，y＞$\sqrt{3}$）．S_△ABC=$\frac{1}{2}xy$=$\frac{1}{2}x（\frac{\sqrt{3}x}{x-1}）$=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{2x-2}$，（x＞1）．由此利用导数性质能求出△ABC面积的最小值．

解答解：∵Rt△ABC中，点D是斜边AB上的点，且满足∠ACD=60°，∠BCD=30°，DC=2，
过D作DE⊥AC，义AC于E，过D作DF⊥BC，交BC于F，
∴CF=$\sqrt{3}$，DF=1，
∵DE∥BC，AC=x，BC=y，
∴$\frac{\sqrt{3}}{y}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴x，y满足的相等关系式是y=$\frac{\sqrt{3}x}{x-1}$，（x＞1，y＞$\sqrt{3}$）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}xy$=$\frac{1}{2}x（\frac{\sqrt{3}x}{x-1}）$=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{2x-2}$，（x＞1）．
∴${{S}_{△ABC}}^{'}$=$\frac{2\sqrt{3}{x}^{2}-4\sqrt{3}x}{（2x-2）^{2}}$，x＞1，
由${{S}_{△ABC}}^{'}$=0，得x=2，
x∈（0，2）时，${{S}_{△ABC}}^{'}$＜0，x∈（2，+∞）时，${{S}_{△ABC}}^{'}$＞0，
∴x=2时，（S_△ABC）_min=$\frac{\sqrt{3}×{2}^{2}}{2×2-2}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：y=$\frac{\sqrt{3}x}{x-1}$，（x＞1，y＞$\sqrt{3}$），2$\sqrt{3}$．

点评本题考查x，y满足的相等关系式的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．