2023年普通高等学校招生全国统一考试 23·JJ·FZMJ 金卷仿真密卷(6六)数学考试试卷

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15．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+t}\\{y=3+t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρsin²θ=4cosθ，直线l与曲线C相交于A，B两点，则线段AB的长为8．

分析先构造函数F（x）=sin（cosx）-x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），只需证函数为单调函数且两端点处函数值异号即可．

解答证明：构造函数F（x）=sin（cosx）-x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
F'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-1，
因为cos（cosx）∈[cos1，1]，sinx∈[-1，1]，
所以，F'（x）≤0恒成立，
即F（x）在区间（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
又因为F（0）=sin（cos0）-0=sin1＞0，
F（$\frac{π}{2}$）=sin（cos$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{2}$=-$\frac{π}{2}$＜0，
所以，F（0）•F（$\frac{π}{2}$）＜0，
根据零点存在性定理知，函数F（x）在（0，$\frac{π}{2}$）有唯一零点，
即方程sin（cosx）=x在区间（0，$\frac{π}{2}$）内有唯一的实数解．

点评本题主要考查了函数零点的判定，涉及运用导数确定函数的单调性和函数值符号的判断，属于中档题．