湖湘教育三新探索协作体2022年11月高二期中联考数学考试试卷

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8．对一切实数x，函数f（x）满足：xf（x）=2f（1-x）+1，则f（5）=$\frac{1}{12}$．

分析（1）利用二倍角公式与和角公式将f（x）进行化简，由两条对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$可知f（x）周期为π，从而求出ω；
（2）根据x的范围求出相位的范围，再根据正弦函数的单调性求出f（x）的最值，列出方程解出m．

解答解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+m-$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$．
∵f（x）的两条对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$，
∴T=2×$\frac{π}{2}$=π，∴$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+m-$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，
∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈在$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值m，
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值m-$\frac{3}{2}$．
∴m+m-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，解得m=2．

点评本题考查了三角函数的恒等变换及性质，由对称轴的最短距离得出周期是关键．