2023届高考单科模拟检测卷(3三)数学考试试卷

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20．已知数列{a_n}的首项a₁=1，?n∈N⁺，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．
（1）证明：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n项和S_n．

分析（1）根据已知，求出函数的周期，进而可得ω=2，再由函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象经过点（0，$\frac{1}{2}$），求出φ=$\frac{π}{6}$，可得函数解析式，代入计算可得求f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）根据正弦函数的图象和性质，先求出函数f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，结合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，可得答案．

解答解：（1）∵对任意的x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x_2），且|x₂-x₁|的最小值为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=2，
又∵函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象经过点（0，$\frac{1}{2}$），
∴sinφ=$\frac{1}{2}$，
解得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{12}$）=sin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）由2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，
又∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]上的单调递减区间为[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]，[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{7π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]．

点评本题考查的知识点是正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．