福建省2022~2023学年高三第一学期半期考(23-96C)数学考试试卷

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14．（1）解关于x不等式（x-a）（x-1）＜0．
（2）证明：（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥4（其中x＞0，y＞0）．

分析（1）用三角恒等变换化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期；
（2）根据三角函数的单调性，求出f（x）的单调增区间即可．

解答解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$（sin²x-cos²x）+2sinxcosx
=-$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
∴2kπ-$\frac{π}{6}$≤2x≤2kπ+$\frac{5}{6}$π，k∈Z；
∴kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z；
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
故答案为：（1）π，（2）$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]（{k∈Z}）$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．