2023年普通高校招生考试仿真模拟卷(四)数学考试试卷

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9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数．
（1）求φ的值．
（2）若f（x）图象上的点关于M（$\frac{3}{4}$π，0）对称．
①求ω满足的关系式；
②若f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，求ω的值．

分析由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的周期性和单调减区间．

解答解：函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z，
故答案为：π，[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

点评本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．