宿州市十三所重点中学2022-2023学年度高二第一学期期中质量检测数学考试试卷

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4．已知函数f（x）=-2sin（3x+$\frac{π}{2}$）．
（1）求函数图象的对称中心和对称轴；
（2）写出函数的单调递减区间；
（3）此函数图象可由函数y=cosx图象怎样变换得到？

分析分情况讨论目标函数化简，画出约束条件所表示的可行域，结合图形找出最优解，可求出目标函数的最小值．

解答解：（1）当$\left\{\begin{array}{l}{4x+y-2≥0}\\{3-x-2y≥0}\end{array}\right.$时，作出满足约束条件的可行域如图，
令z=|4x+y-2|+|3-x-2y|=3x-y+1，则y=3x+1-z，
∴y=3x+1-z过点C时，1-z取得最大值，z取得最小值．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{4x+y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．∴z=3x-y+1=$\frac{4}{3}$．
（2）当$\left\{\begin{array}{l}{4x+y-2＜0}\\{3-x-2y≥0}\end{array}\right.$时，作出满足约束条件的可行域如图，
令z=|4x+y-2|+|3-x-2y|=-5x-3y+5，
则y=-$\frac{5}{3}x$+$\frac{5-z}{3}$，
∴y=-$\frac{5}{3}x$+$\frac{5-z}{3}$经过点C时，$\frac{5-z}{3}$取得最大值，z取得最小值，
由（1）知，C（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴z=-5x-3y+5=$\frac{4}{3}$．
（3）当3-x-2y＜0时，不存在符合条件的可行域，
综上，|4x+y-2|+|3-x-2y|的最小值是$\frac{4}{3}$．

∴故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评本题考查了简单线性规划的应用，正确作出平面区域是关键．