2023届黑龙江高三11月联考(904C·HLJ)数学考试试卷

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2．有如下几个结论：
①若函数y=f（x）满足：$f（x）=-\frac{1}{{f（{x+1}）}}$，则2为y=f（x）的一个周期，
②若函数y=f（x）满足：f（2x）=f（2x+1），则$\frac{1}{2}$为y=f（x）的一个周期，
③若函数y=f（x）满足：f（x+1）=f（1-x），则y=f（x+1）为偶函数，
④若函数y=f（x）满足：f（x+3）+f（1-x）=2，则（3，1）为函数y=f（x-1）的图象的对称中心．
正确的结论为①③（填上正确结论的序号）

分析设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，问题转化为存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=ax-1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a-1且h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，h（2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．

解答解：设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，
由题意知存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=h（x）=ax-1的下方，
∵g′（x）=lnx+1-$\frac{2}{x}$，
∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，
当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a-1＜0，即a≤1．
直线y=ax-1恒过定点（0，-1）且斜率为a，
由题意结合图象可知，存在唯一的整数x₀=2，f（x₀）＜0，
故h（2）=2a-1＞g（2）=0，h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{1+ln3}{3}$．
故选：B．

点评本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．