2023届高三全国统一招生考试信息冲刺卷(二)数学考试试卷

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4．${C}_{3}^{0}$+${C}_{4}^{1}$+${C}_{5}^{2}$+${C}_{6}^{3}$+…+${C}_{2013}^{2010}$的值为（　　）

A．

${C}_{2013}^{3}$

B．

${C}_{2014}^{3}$

C．

${C}_{2014}^{4}$

D．

${C}_{2013}^{4}$

分析将向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DA}$转化为以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$的式子，计算|$\overrightarrow{AB}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CD}$|²-|$\overrightarrow{DA}$|²，又$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$），展开即可得到所求值．

解答解：|$\overrightarrow{AB}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CD}$|²-|$\overrightarrow{DA}$|²=（$\overrightarrow{AB}$）²-（$\overrightarrow{BC}$）²+（$\overrightarrow{CD}$）²-（$\overrightarrow{DA}$）²
=（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）²-（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）²+（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$）²-（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OD}$）²
=2（$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$）
=4-9+16-49=-38，
即有$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-19，
又$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$）
=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$=19．
故答案为：19．

点评本题考查向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．