高中数学圆锥曲线系统讲解第24讲《点的运算》练习及答案

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1、 1 第第 24 讲讲 点的运算点的运算 知识与方法知识与方法 过圆锥曲线 C 上一已知点 A 作直线与 C 交于另外一点 B，则点 B 坐标可求.具体做法如下：（1）设出直线 AB 的方程；（2）联立直线方程和圆锥曲线 C 的方程；（3）由韦达定理求出ABx x，根据已知的Ax求出Bx；（4）将Bx代入直线方程求出By.典型例题典型例题 1.（）如 下 图 所 示，曲 线 C 由 上 半 椭 圆22122:1yxCab+=()0,0aby和 部 分 抛 物 线()22:10Cyxy=+连接而成，1C、2C的公共点为 A、B，其中1C的离心率为32.（1）求 a、b 的值；（2）过点 B 的直

2、线 l 与1C、2C分别交于 P、Q（均异于点 A、B），若APAQ，求直线 l的方程.【解析】（1）由201yyx=+，解得：1x=，所以()1,0A，()1,0B，故1b=，又1C的离心率2232abea=，所以2a=.（2）显然直线 l 不与坐标轴垂直，可设其方程为()10 xmym=+联立22114xmyyx=+=消去 x 整理得：()224180mymy+=，解得：0y=或2841mm+，2 即2841pmym=+，所以2214141ppmxmym=+=+，即222148,4141mmPmm+联立211xmyyx=+=+消去 x 整理得：()22210m ymy+=，解得：0y=或2

3、21mm+，即221Qmym+=，所以11QQmxmym+=+=，即2121,mmQmm+，故2228,4141mAPmm=+，2121,mAQmm+=，因为APAQ，所以2221221804141mmAP AQmmmm+=+=+，解得：38m=故直线 l 的方程为318xy=+，即8380 xy+=【反思】若直线与圆锥曲线的两个交点中，已知其中一个交点的坐标，则另一个交点的坐标可求.2.（）已知椭圆()222210 xyabab+=的离心率32e=，连接椭圆的 4 个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为(),0a

4、，点()00,Qy在线段 AB 的垂直平分线上，且4QA QB=，求0y的值.【解析】（1）由题意，2232abea=，12242ab=，解得：2a=，1b=，所以椭圆的方程为2214xy+=.（2）由（1）可得()2,0A，当直线ly轴时，()2,0B，()02,QAy=，()02,QBy=，所以2044QA QBy=，解得：02 2y=，当直线 l 不与 y 轴垂直时，设其方程为2xmy=()0m，联立22244xmyxy=+=消去 x 整理得：()22440mymy+=，解得：0y=或244mm+，所以244Bmym=+，222824BBmxmym=+，即222284,44mmBmm+，

5、故 AB 中点为2282,44mmm+3 线段 AB 的中垂线方程为222844mym xmm=+，令0 x=可得：264mym=+，即0264mym=+，所以262,4mQAm=+，2222810,44mmQBmm=+，从而22222861024444mmQA QBmmm=+=+解得：142m=，代入得：02 145y=综上所述，02 2y=或02 145y=【反思】当动直线过 x 轴上的定点(),0t时，设横截式xmyt=+较为方便，但需注意横截式方程不能表示垂直于 y 轴的直线；当动直线过 y 轴上的定点()0,t时，设斜截式ykxt=+较为方便，但需注意斜截式方程不能表示垂直于 x 轴

6、的直线.3.（2020天津18）已知椭圆()222210 xyabab+=的一个顶点为()0,3A，右焦点为 F，且OAOF=，其中 O为原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知点 C 满足3OCOF=，点 B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，且 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程.【解析】（1）椭圆()222210 xyabab+=的一个顶点为()0,3A，所以3b=，由OAOF=知半焦距3cb=，故22218abc=+=，从而椭圆的方程为221189xy+=（2）因为直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，所以CPAB，由题意，直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在，设直线 AB 的方程为3yk=，联立2218931xyyk=+=消去 y 整理得：()2221120kxkx+=，解得0 x=或21221kxk=+将21221kxk=+代入3ykx=可得222126332121kkykkk=+，故2221263,21 21kkBkk+，因为 P 为线段 AB 的中点，所以点 P 的坐标为2263,2121kkk+，4 由3O

18.下列在文中括号内补写的语句,衔接最恰当的一项是()(3分)D.留传独具特色纷至沓来广大A.近年来成立的“百人布依八音弹唱队”,是平塘县不断加大对地方民族文化保护传承力度的结果。B.平塘县引导成立“百人布依八音弹唱队”,近年来地方民族文化保护传承的力度不断加大。C.近年来,平塘县不断加大对地方民族文化的保护传承力度,引导成立“百人布依八音弹唱队”。