高中数学圆锥曲线系统讲解第31讲《仿射变换》练习及答案

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1、 1 第第 31 讲讲 仿射变换仿射变换 知识与方法知识与方法 在椭圆()222210 xyabab+=中，我们运用坐标变换xxayyb=，则可以得到圆222xya+=，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：项目 变换前 变换后 点的坐标()00,P x y 00,aPxyb 直线的斜率 k akkb=图形的面积 S aSSb=点与点的位置关系 AB中点为 M A B 中点为M 线与线的位置关系 直线 m 和直线 n 相交 直线m和直线n相交 直线 m 和直线 n 平行 直线m和直线n平行 点与线的位置关系 点 A

2、 在直线 l 上 点A在直线l上 点 A 不在直线 l 上 点A不在直线l上 等倾斜程度线段长的关系 ABAC=A BA C=总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.提醒：仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等；需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.典型例题典型例题【例 1】设直线l与椭圆()2222:10 xyCabab+=相交于 A、B 两点，则AOB的面

3、积的最大值为_.【解析】解法 1：当直线l的斜率不存在时，设其方程为xt=()0atat 且 联立22221xtxyab=+=解得：22byata=，2 所以()222222221 2222AOBbbb attabSattattaaa+=，当且仅当222att=，即22ta=时取等号，所以()max2AOBabS=当直线 l 斜率存在时，设其方程为()0ykxm m=+，设()11,A x y，()22,yB x，联立22221ykxmxyab=+=消去 y 整理得：()22222222220a kbxkma xa ma b+=，判别式()()()2242222222222222444k m

4、aa kba ma ba ba kmb=+=+，所 以22222212222211ab a kmbABkxxka kb+=+=+，原 点 O 到 直 线 l 的 距 离21mdk=+，从而()222222222222222221121221AOBaba kmbmmab a kmbSAB dka kba kbk+=+=+2222222222aba kmbmaba kb+=+当且仅当22222a kmbm+=时取等号，此时22222a kbm+=，代入知22240a b m=，故()max2AOBabS=，综上所述，AOB的面积的最大值为2ab.解法 2：作变换xxayyb=，则椭圆 C 变成圆2

5、22xya+=，如图，因为21sinsin22A O BaSO AO BA O BA O B =，所以当90A O B =时，A O BS 取得最大值22a，因为aSSb=，所以bSSa=，从而AOBS的最大值为222ababa=.3 【答案】2ab【例 2】已知椭圆22:14xCy+=的左右顶点为 A、B，P 为椭圆 C 上不与 A、B 重合的动点，则直线PA、PB的斜率之积为_.【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为14，其推导方法是设点 P 的坐标，运用点 P 的坐标满足椭圆的方程来化简PA、PB的斜率之积，得出斜率之积为定值，其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换2

6、xxyy=，则椭圆C变换成圆22:4Oxy+=，如图，在圆O中，显然A B 是直径，所以P AP B ，从而1P AP Bkk =，又2P APAkk=，2P BPBkk=，所以41P AP BPAPBkkkk =，故14PAPBkk=.【答案】14【例 3】已知过点1 1,2 2M的直线 l 与椭圆22:142xyC+=交于 A、B 两点，若 M 恰好为AB的中点，则直线 l 的方程为_.【解析】解法 1：如图 1，由中点弦结论，12OMABkk=，而1OMk=，所以12ABk=，从而直线 l 的方程为111222yx=，即2430 xy+=解法 2：作变换2xxyy=，则椭圆 C 变换成圆22:4Oxy+=，如图 2，4 在圆O中，M仍为A B 中点，所以O MA B，且12,22M，所以直线O M的斜率为2，从而直线A B 的斜率为22，故直线A B 的方程为221222yx=，即23 2024xy+=，将2xxyy=代入可得23 22024xy+=，即2430 xy+=，所以直线AB的方程为2430 xy+=【答案】2430 xy+=【例 4】已知椭圆22:12xCy+=的 A

3.为研究R型肺炎双球菌转化为S型肺炎双球菌的转化物质是DNA还是蛋白质,进行了肺炎双菌体外转化实验,其基本过程如图所示:下列叙述正确的是A.甲组培养皿中只有光滑型菌落,推测加热不会破坏转化物质的活性B.如果乙组培养皿中出现了光滑型菌落,推测使肺炎双球菌转化的物质是蛋白质C.如果丙组培养皿中只有粗糙型菌落,推测脱氧核苷酸不是使肺炎双球菌转化的物质D.该实验能证明肺炎双球菌的主要遗传物质是DNA