高中数学圆锥曲线系统讲解第17讲《离心率综合题》练习及答案抛物线的常用结论》练习及答案

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1、 1 第第 17 讲讲 抛物线的常用结论抛物线的常用结论 知识与方法知识与方法 1.如图 1 所示，设抛物线2:2C ypx=()0p 的准线为 l，焦点为 F，l 与 x 轴交于点 K，过 F 的直线l交 C 于 A、B 两点，AMl于点 M，BNl于点 N，设AB中点为 P，PQl于点 Q，设()11,A x y，()22,B xy，则：（1）2124px x=，212y yp=；（2）MFNF；（3）AQBQ，即以焦点弦AB为直径的圆与准线 l 相切；（4）以焦半径AF或BF为直径的圆与 y 轴相切；（5）A、O、N 三点共线，B、O、M 三点共线；（6）直线AK与直线BK的斜率之和为

2、0，即AKFBKF=.2如图 2 所示，AB是抛物线2:2C ypx=()0p 的通径，K 是抛物线 C 的准线 l 与 x轴的交点，则AKB是等腰直角三角形，且KA、KB均与抛物线 C 相切.3抛物线的平均性质：如图 3 所示，过点 D 的直线与抛物线2:2C ypx=()0p 交于A、B 两点，则2ABDx xx=.4设 A、B 是抛物线2:2C ypx=()0p 上的两个动点，O 为原点，若OAOB，则直线AB过定点()2,0p.提醒：焦点弦有关的结论在本章前面部分已有涉及，此处不再重复.另外，抛物线与切线有关的一些性质会在后续小节“抛物线中的阿基米德三角形性质”中归纳，本节暂不涉及.典

3、型例题典型例题【例 1】如下图所示，抛物线2:2C ypx=()0p 的准线为 l，焦点为 F，l 与 x 轴交于点 K，过 F 的直线l交 C 于 A、B 两点，AMl于点 M，BNl于点 N，设AB中点为 P，PQl于点 Q，设()11,A x y，()22,B xy，证明下列结论：2 （1）2124px x=,212y yp=；（2）MFNF；（3）以焦点弦AB为直径的圆与准线 l 相切；（4）以焦半径AF或BF为直径的圆与 y 轴相切；（5）A、O、N 三点共线，B、O、M 三点共线；（6）AKFBKF=.【解析】（1）由题意，,02pF，2112yxp=，2222yxp=，因为 F、

4、A、B 三点共线，所以AFBFkk=，故121222yyppxx=，从而12221122ppx yyx yy=，所以()1221212px yx yyy=，故()22122121222yypyyyypp=，所以()()12122122y yyypyyp=显然12yy，所以212y yp=，22221212122224yyy ypx xppp=.（2）由题意，1,2pMy，2,2pNy，所以21212220012222MFNFyyy ypkkpppppp=，故MFNF（3）由题意，PQ是梯形ABNM的中位线，所以()()111222PQAMBNAFBFAB=+=+=，从而AQBQ，故以AB为直径

5、的圆与直线 l 相切.（4）由题意，AF中点为11,242xypT+，12pAFx=+，所以点 T 到 y 轴的距离11242xpdAF=+=，故以AF为直径的圆与 y 轴相切，同理可得以BF为直径的圆也与 y 轴相切.（5）11211122OAyypkyxyp=，2222ONyykpp=，因为212y yp=，所以221pyy=，3 从而21122ONOApypkkpy=，所以 A、O、N 三点共线，同理可证 B、O、M 三点也共线.（6）由题意，,02pK，所以12121222222212121222222222AKBKyyyypypykkppyyypypppxxpp+=+=+=+2111

6、1222222221112122220ppypypypyypyppyppy=+=+=+，从而直线AK和BK关于 x 轴对称，故AKFBKF=.【例 2】设抛物线2:4C yx=的焦点为 F，O 为原点，过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，则OAB和AOF的面积之和的最小值为_.【解析】如图，设()11,A x y，()22,B x y，则124y y=，所以214yy=，()121121111222OABAOFSSOFyyOFyyyy+=+=+111111111114142222 222yyyyyyyyyy=+=+=+=，当且仅当112yy=，即12y=时等号成立，所以OAB和AOF的面积之和的最小值为2 2.【答案】2 2 变式 1 过点()2,0D的直线 l 与抛物线2:4C yx=相交于 A、B 两点，O 为原点，则OAB和AOD的面积之和的最小值为_.4 【解析】如图，设()11,A x y，()22,B x y，由抛物线的平均性质，124x x=，所以2212444yy=，显然120y y，故128y y=，所以218yy=，从而1211122OABAODS

19.(12分)英国农业革命,阅读材料,回答问题材料一英国在经历了14世纪中叶的黑死病和人之后,西北寒冷地区大多转变为牧场;中部密德兰地区成为“消失的村庄”;农业生产活动越来越多地集中到东南地区,但随着16、17世纪英国人回升,加之城市和乡村手工业迅速发展,非农业人比例扩大,农业不得不向深度发展,由此,英国开始了农火学家埃里克·克里奇、E琼斯等人所称的“农业革命”。一摘编自向荣《告别饥荒:近代早期英国的农业革命》材料二下表为1300∼1800年全英格兰三种粮食的产量(单位:万吨)变化情况。摘编自(英)霍布斯鲍姆《革命的年代:1789一1848)材料三那些贪得无厌的人,用一条栅栏把成千上万的土地圈起来....很多佃农被迫流离失所,漂泊不定,….…你们的羊,曾是那么的温别,那么容易喂饱,但现在却变得那么贪婪、凶蛮,甚至开始吃人,摘编自(英)英尔乌托邦》(1)材料一、二、三对于研究“英国农业革命”是否合理?依据材(文海·高三·历史(广东)·模拟四》第5页(共6页料及所学知识,谈谈你的看法。(6分)