2023全国高考单科综合卷(5五)数学考试试卷

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9．函数f（x）=$\frac{\sqrt{x-1}}{x}$的值域是$[0，\frac{1}{2}]$．

分析（1）f（x）=cos2x$+\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，结合正弦函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（A）=2解出A，代入面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA解出c，利用余弦定理求出a．

解答解：（1）f（x）=cos2x$+\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值0，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值3，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域是[0，3]．
（2）∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=2．
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bc•cosA}$=$\sqrt{3}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换与性质，解三角形，对f（x）进行降次化简是关键．