1_2023年全国高中数学联合竞赛一试（A）卷参考答案及评分标准

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1、 1 2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨暨 2023 年年全国高中数学联合竞赛全国高中数学联合竞赛 一试（一试（A 卷）参考答案及评分标准卷）参考答案及评分标准 说明：说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、

2、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次，第分为一个档次，第10、11 小题小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次分为一个档次，不得增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分 1.设复数910iz （i为虚数单位），若正整数n满足2023nz，则n的最大值为 答案答案：2 解解：22910181nnnnzz因21812023z，而当3n时，181132023nnnz，故n的最大值为2 2.若正实数,a b满足lg2ba，lglg5abab，则lg()a

3、bab的值为 答案答案：20 解解：因为lglglglg102aabbba，所以 lglglglglglglg()()()52220abababbaabababab 3.将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,x y z，则事件“777CCCxyz”发生的概率为 答案答案：127 解解：由于162534777777CCCCCC，因此当,1,2,3,4,5,6x y z时，事件“777CCCxyz”发生当且仅当“1,6,2,5,3,4xyz”成立，相应的概率为321627 4.若平面上非零向量,满足 ，2|，3|，则|的最小值为 答案答案：2 3 解解：由 ，不妨设(,0),(0,)a

4、b ，其中,0a b，并设(,)x y ，则由2|得2bya，由3|得3axb 所以2232|222 3baxyxyab 取3,2ab，此时6xy，|取到最小值2 3 2 5.方程sincos2xx的最小的20个正实数解之和为 答案答案：130 解解：将2cos212sinxx 代入方程，整理得(2sin1)(sin1)0 xx，解得 532,2,2()662Zxkkkk 上述解亦可写成2()36Zkxk，其中0,1,19k 对应最小的20个正实数解，它们的和为1902219202013036326kk 6.设,a b c为正数，ab 若,a b为一元二次方程20axbxc 的两个根，且,a

5、b c是一个三角形的三边长，则abc 的取值范围是 答案答案：7,518 解解：由条件知2222()()()axbxca xa xbaxaab xa b，比较系数得22,baab ca b，故24,11aabcaa，从而 24231aaabcaaaaa 由于201aaba，故112a此时显然0bc 因此，,a b c是一个三角形的三边长当且仅当acb，即4211aaaaa，即2(1)0a aa，结合112a，解得15122a 令23()f xxxx，则()abcf a 显然当0 x时()f x连续且严格递增，故abc 的取值范围是151,22ff ，即7,518 7.平面直角坐标系xOy中，已

6、知圆与x轴、y轴均相切，圆心在椭圆2222:1(0)xyabab 内，且与有唯一的公共点(8,9)则的焦距为 答案答案：10 解解：根据条件，可设圆心为(,)P r r，则有222(8)(9)rrr，解得5r 或29r 因为P在内，故5r 椭圆在点(8,9)A处的切线为2289:1xylab，其法向量可取为2289,nab 由条件，l也是圆的切线，故n与PA平行，而(3,4)PA，所以223227ab 又2264811ab，解得22160,135ab从而的焦距为22210ab 3 8.八张标有,A B C D E F G H的正方形卡片构成下图现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按,D A B E C F G H的次序取走卡片，但不可按,D B A E C F G H的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ABCDEFGH 答案答案：392 解解：如左下图重新标记原图中的八张卡片现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图中的2mn 阶图(,)G m n在3,3mn时