2023年普通高等学校招生全国统一考试·S3最新模拟卷(2二)数学考试试卷

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10．已知函数f（x）=cos²（x-$\frac{π}{6}$）-sin²x，其中x∈R．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知α为第二象限角，且f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\frac{1+cos2α-sin2α}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）}$的值．

分析根据题意，由余弦的二倍角公式可得f（x）=1+cos²x=1+$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{cos2x}{2}$+$\frac{3}{2}$，进而由正余弦函数最小正周期的计算公式计算可得答案．

解答解：根据题意，f（x）=1+cos²x=1+$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{cos2x}{2}$+$\frac{3}{2}$，
其最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
故答案为：π．

点评本题考查余弦的二倍角公式，涉及三角函数最小正周期的计算，关键是对f（x）=1+cos²x的正确化简变形．