黑龙江2022-2023第一学期高一年级第二次考试数学考试试卷

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17．判断下列函数在定义域内的单调性：①y=1.1^x ②y=（$\frac{1}{4}$）^x ③y=4^-x ④y=1nx    ⑤y=x${\;}^\frac{1}{2}$．

分析（1）直接由数列递推式求得数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）由数列递推式可得${s}_{n-1}=2{a}_{n-1}+（-1）^{n-1}$（n≥2），与源深路递推式作差后可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．然后利用累加法求得通项公式a_n．

解答解：（1）由s_n=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N^*）．
取n=1，可得a₁=1，
a₁+a₂=2a₂+1，a₂=a₁-1=0，
a₁+a₂+a₃=2a₃-1，a₃=a₁+a₂+1=2；
（2）由s_n=2a_n+（-1）ⁿ，得${s}_{n-1}=2{a}_{n-1}+（-1）^{n-1}$（n≥2）．
两式作差可得：${a}_{n}=2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-2•（-1）^{n-1}$，
即${a}_{n}-2{a}_{n-1}=2•（-1）^{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．则
$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=-\frac{1}{2}$，
$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=\frac{1}{{2}^{2}}$，
$\frac{{a}_{4}}{{2}^{4}}-\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}=-\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=（-\frac{1}{2}）^{n-1}$（n≥2）．
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{-\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$．
∴${a}_{n}=\frac{{2}^{n-1}-2（-1）^{n}}{3}$．
验证n=1时上式成立，
∴${a}_{n}=\frac{{2}^{n-1}-2（-1）^{n}}{3}$．

点评本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．