高考快递 2023年普通高等学校招生全国统一考试·信息卷7(七)数学考试试卷

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高考快递 2023年普通高等学校招生全国统一考试·信息卷7(七)数学试卷答案

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20．有一动圆P恒过定点F（1，0）且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正角形，则圆心P的轨迹方程是（　　）

A．

$\frac{{（x+3）}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

B．

$\frac{{（x+3）}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

C．

$\frac{{（x-3）}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

D．

$\frac{{（x-3）}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

分析方程f（x）=2ax有唯一正实根，即为x²-2ax=4a²lnx即有（x-a）²=a²（4lnx+1），作出函数y=（x-a）²和y=a²（4lnx+1）的图象，发现可得它们相切时，有一个公共点，此时a＞0，设出切点（m，n），运用切线的斜率相等，点满足曲线方程，解方程可得a．

解答解：方程f（x）=2ax有唯一正实根，即为
x²-2ax=4a²lnx即有（x-a）²=a²（4lnx+1），
作出函数y=（x-a）²和y=a²（4lnx+1）的图象，
发现可得它们相切时，有一个公共点，此时a＞0，
即方程有唯一正实根．
设出切点为（m，n），由y=（x-a）²的导数为y′=2（x-a），
y=a²（4lnx+1）的导数为y′=$\frac{4{a}^{2}}{x}$，
即有2（m-a）=$\frac{4{a}^{2}}{m}$，可得m=2a，
又（m-a）²=a²（4lnm+1），即有lnm=0，
解得m=1，a=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评本题考查函数方程的转化思想，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．