2024年陕西省初中学业水平适应性联考（二）数学

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2024年陕西省初中学业水平适应性联考（二）数学试卷答案

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1.天宫课堂中,航天员王亚平先做了一个水球,然后她将女儿用纸做的小花轻轻放在水球表面,纸花迅速绽放。纸花绽放的原因是()A.水球表面分子力表现为引力B.水球表面分子力表现为斥力C.纸花分子间分子力表现为引力D.纸花分子间分子力表现为斥力

分析（1）由根的判别式得16sin²θ=4a•$\frac{sinθ}{cosθ}$，从而a=4sinθcosθ=2sin2θ，由此能求出实数a的取值范围．
（2）a=$\frac{7}{4}$时，sin2θ=$\frac{a}{2}$=$\frac{7}{8}$，由正弦加法公式及同角三角函数关系式能求出sin（$\frac{π}{4}+θ$）．

解答解：（1）∵关于x的方程x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$）有两个相等的实数根，
∴△=16sin²θ-4atanθ=0，
∴16sin²θ=4a•$\frac{sinθ}{cosθ}$，∴a=4sinθcosθ=2sin2θ，
∵$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜2θ＜\frac{2π}{3}$，
∴1＜2sin2θ＜2．
∴实数a的取值范围是（1，2）．
（2）a=$\frac{7}{4}$时，sin2θ=$\frac{a}{2}$=$\frac{7}{8}$，
sin（$\frac{π}{4}+θ$）=sin$\frac{π}{4}$cosθ+cos$\frac{π}{4}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sinθ+cosθ）$，
∴$si{n}^{2}（\frac{π}{4}+θ）=\frac{1}{2}（1+2sinθ）$=$\frac{1}{2}×（1+\frac{7}{8}）$=$\frac{15}{16}$，
∵$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}＜\frac{π}{4}+θ＜\frac{7π}{12}$，
∴sin（$\frac{π}{4}+θ$）=$\sqrt{\frac{15}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评本题考查实数的取值范围的求法，考查正弦函数值的求法，是中档题，解题时要注意根的判别式、正弦加法公式及同角三角函数关系式的合理运用．

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