［毕节三模］毕节市2024届高三年级第三次诊断性考试数学

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［毕节三模］毕节市2024届高三年级第三次诊断性考试数学试卷答案

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1．设函数f（x）=x²+ax+b，（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表达式；
（Ⅱ）若b=a+1且函数f（x）在[-1，1]上存在两个不同零点，试求实数a的取值范围．
（Ⅲ）若b=a+1且函数f（x）在[-1，1]上存在一个零点，试求实数a的取值范围．

分析（1）先求函数的导函数y′，再解不等式y′＞0和y′＜0得函数的单调区间，进而由极值的定义求得函数的极值，解得cosA的值，结合A的范围，即可得解．
（2）由已知利用三角形面积公式及余弦定理即可得解．

解答解：（1）∵f（x）′=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$（x+1）（x-1）．
∴函数f（x）=$\frac{1}{4}{x^3}-\frac{3}{4}$x在（-∞，-1）是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数
∴函数f（x）=$\frac{1}{4}{x^3}-\frac{3}{4}$x在x=-1时取得极大值$\frac{1}{2}$，
∴可求：$cosA=\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）∵a=2，$A=\frac{π}{3}$，
∴由三角形面积公式及余弦定理可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=\sqrt{3}\\4={b^2}+{c^2}-bc\end{array}\right.$，
∴解得b=c=2．

点评本题考察了导数在函数极值中的应用，函数极值的意义及求法，考查了余弦定理，三角形面积公式，特殊角的三角函数值的应用，属于中档题．

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