2024年湖南省普通高中学业水平合格考模拟卷(一)数学

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2024年湖南省普通高中学业水平合格考模拟卷(一)数学试卷答案

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肺活量是指在标准大气压p0下,人尽力吸气后呼出气体的体积,是衡量心肺功能的重要指标。如图所示为某同学自行设计的肺活量测量装置,体积为V。的空腔通过细管与吹气口和外部玻璃管密封连接,玻璃管内装有密度为的液体用来封闭气体。测量肺活量前,玻璃管两侧的液面高度相同。测量肺活量时,被测者尽力吸足空气,通过吹气口将肺部的空气尽力吹人空腔中,若此时玻璃管两侧的液面高度差为h,大气压为p0保持不变,重力加速度为g,忽略气体温度的变化和细管内气体的体积,求:(1)人的肺活量;(2)在标准状态下,某游泳运动员的肺活量为V=5.6L,空气的摩尔体积为Vmol=22.4L/mol,阿伏加德罗常数NA=6.010^23mol^-1,求该运动员一次能呼出的气体分子数n。(结果保留两位有效数字)

分析（1）由f（x）=0进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）根据函数单调性的定义结合指数函数单调性的性质即可得到结论．

解答解：（1）由f（x）=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}$=0得a^x=$\frac{1}{{a}^{x}}$，即（a^x）²=1，则a^x=1，解得x=0，
即函数f（x）有零点，其中零点为0；
（2）函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（x）=a^x-$\frac{1}{{a}^{x}}$=a^x-a^-x，
则f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（3）a＞1时，函数f（x）为增函数，当0＜a＜1时，函数f（x）为减函数．
证明：设x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=${a}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$+-${a}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$
=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$），
若a＞1，∵x₁＜x₂，
∴${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，即${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
若0＜a＜1，∵x₁＜x₂，
∴${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，即${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
即a＞1时，函数f（x）为增函数，当0＜a＜1时，函数f（x）为减函数．

点评本题主要考查函数零点的求解，函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．

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