［威海二模］2024年威海市高考模拟考试数学

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［威海二模］2024年威海市高考模拟考试数学试卷答案

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19.(10分)如图所示,跳楼机可以使人体验失重和超重。现让升降机将座舱送到距地面H=75m的高处,然后让座舱自由下落,落到距地面h=30m的位置时开始制动,使座舱均匀减速,座舱落到地面时刚好停下。在该体验中,小王将质量m=1kg的书平放在大腿上并与大腿始终相对静止,不计空气阻力,g取10m/s^2。(1)当座舱静止时,请用所学知识证明书的重力G与书对小王大腿的压力F大小相等;第19题图(2)求座舱开始制动后(匀减速阶段),书对小王的作用力F1的大小;(3)求座舱运动的总时间t0

分析（1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$；
（2）由周期公式可得；
（3）可得h（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），易得函数的最大值和x的集合．

解答解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{3}{4}$sin²x=$\frac{1}{4}$•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{3}{4}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（3）h（x）=f（x）-g（x）
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$-（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{4}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴h（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此时x满足2x+$\frac{π}{4}$=2kπ，解得x=kπ-$\frac{π}{8}$，
故此时x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z}

点评本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性，属基础题．

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