［广东大联考］广东省2024届高三年级5月联考数学

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［广东大联考］广东省2024届高三年级5月联考数学试卷答案

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、养在这一良性循环系统中,生长11.我国南方构建了稻田养鱼、养鸭等现代农业生态系统,实现了经济效益和生态效益的双丰收。A.鸭子和青蛙的关系是竞争和捕食、红萍、杂草态系统的叙述,正确的是在这一良性循环系统中,生长着水稻、鱼、鸭子、青蛙、蝗虫、红萍、杂草等生物。下列有关该生。B.水稻、害虫、青蛙等生物之间的信息传递是单向的()C.鸭粪便中的有机物均可被植物根系吸收,N和P能促进根系生长D.水稻植株内调节生长发育的植物激素属于生态系统的信息传递中的化学信息系系长

分析（1）把a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N^*）代入a_2n-a_n＞$\frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1），得到$\frac{7}{12}＞\frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，然后利用对数式的性质可得x的取值范围；
（2）由${a}_{n}={a}_{n-1}+\frac{1}{n}$，得${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=\frac{2{a}_{n}}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，利用累加法可得${{a}_{n}}^{2}+\frac{7}{4}$=$2（{a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}）-$$（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$$+\frac{7}{4}$．即要证原不等式成立，只需证$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{7}{4}$．再利用放缩法证得该结论．

解答（1）解：∵a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
∴a_2n-a_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$，
对于任意n≥2，a_2n-a_n的最小值为$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$．
若a＞1，对于任意n≥2，不等式a_2n-a_n＞$\frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，
即$\frac{7}{12}＞\frac{7}{12}$（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，
∴log_（a+1）x-1og_ax+1＜1恒成立，也就是log_（a+1）x-1og_ax＜0恒成立，
即log_（a+1）x＜1og_ax，
则$\frac{lgx}{lg（a+1）}＜\frac{lgx}{lga}$，
∵a＞1，∴lgx[lg（a+1）-lga]＞0，
∴x＞1．
故x的取值范围是（1，+∞）；
（2）证明：∵${a}_{n}={a}_{n-1}+\frac{1}{n}$，
∴$（{a}_{n}-\frac{1}{n}）^{2}={{a}_{n-1}}^{2}$，即${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=\frac{2{a}_{n}}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，
…
${{a}_{n-1}}^{2}-{{a}_{n-2}}^{2}=\frac{2{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{1}{（n-1）^{2}}$，
${{a}_{3}}^{2}-{{a}_{2}}^{2}=\frac{2{a}_{3}}{3}-\frac{1}{{3}^{2}}$，
${{a}_{2}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}=\frac{2{a}_{2}}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}$．
累加得：${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}=2（\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}）$$-（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$，
∴${{a}_{n}}^{2}=2（{a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}）-（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$，
∴${{a}_{n}}^{2}+\frac{7}{4}$=$2（{a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+…+\frac{{a}_{n}}{n}）-$$（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$$+\frac{7}{4}$．
要证原不等式成立，只需证$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{7}{4}$．
当n=1，2时，不等式成立．
当n≥3时，$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}＜1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{2•3}+\frac{1}{3•4}+…+\frac{1}{（n-1）•n}$
=$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}-\frac{1}{n}＜\frac{7}{4}$．
∴${a}_{n}^{2}$+$\frac{7}{4}$＞2（a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$）（n∈N^*）成立．

点评本题是数列与不等式的综合题，考查了不等式恒成立问题，考查数列不等式的证明，考查对所学知识的迁移能力，解答（2）的关键是利用${a}_{n}={a}_{n-1}+\frac{1}{n}$，得到${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=\frac{2{a}_{n}}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，同时注意放缩法的合理运用，属难题．

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