牡丹江市第三高中高考前适应性演练考试数学

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牡丹江市第三高中高考前适应性演练考试数学试卷答案

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2.如图是一张风景照片,湖水清澈见底,近处湖面水下的景物都看得很清楚,而远处则只看到对岸山峰和天空彩虹的倒影,水面下的景物则根本看不到.下列说法中正确的是A.水下的石头看起来的深度比实际深一些B.彩虹的成因是光的衍射C.远处对岸山峰和天空彩虹的倒影十分清晰,是由于光的干涉所引起的D.远处水面下景物看不到,是由于光线发生了全反射

分析首先对三角函数关系式进行恒等变换，整理成tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$，再利用基本不等式求得它的最大值，

解答解：由$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），可得：sinβ=sinαcos（α+β），即sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ，
等式两边都除以cosβ得到：tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
整理得：tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{tanα}{2ta{n}^{2}α+1}$，由于α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β≠$\frac{π}{2}$，
所以：tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，当且仅当tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取等号，故tanβ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于中档题．

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