2024年普通高等学校招生全国统一考试预测卷(XGK预测卷)数学

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2024年普通高等学校招生全国统一考试预测卷(XGK预测卷)数学试卷答案

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8.某人对猫毛过敏,猫毛可引发其体内产生IgE抗体,当猫毛再次入侵机体时,可引发肥大细胞产生组胺、白三烯等物质,使患者出现皮肤红肿、瘙痒,流泪、鼻痒、涕多等症状,下列分析正确的是A.lgE抗体由浆细胞产生.lEE主要存在于血清中B.组胺和自三烯属于免疫活性物质,能增强人的免疫力C.过敏反应中既发生体液免疫,也发生细胞免疫D.过敏者皮肤红肿与毛细血管扩张、血管壁通透性増强有关

分析设sinx=t，f（t）=cos（cosx）-sin（sinx）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，分-1≤t≤0和0＜t≤1两种情况进行证明f（t）＞0．

解答证明：设sinx=t，则-1≤t≤1，cosx=±$\sqrt{1-{t}^{2}}$，cos（cosx）=cos（±$\sqrt{1-{t}^{2}}$）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$，
∴cos（cosx）-sin（sinx）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，
令f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，
（1）当-1≤t≤0时，0≤$\sqrt{1-{t}^{2}}$≤1，
∴cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$＞0，sint≤0，
∴f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint＞0，
（2）当0＜t≤1时，f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-cos（$\frac{π}{2}$-t），
令g（t）=1-t²-（$\frac{π}{2}$-t）²=-2t²+πt-$\frac{{π}^{2}}{4}$+1，
∵△=π²+8（-$\frac{{π}^{2}}{4}$+1）=8-π²＜0，
∴g（t）＜0，1-t²＜（$\frac{π}{2}$-t）²，
∵1-t²≥0，$\frac{π}{2}-t＞0$，∴$\sqrt{1-{t}^{2}}$＜$\frac{π}{2}-t$，
又∵$\frac{π}{2}-t＜\frac{π}{2}$，
∴cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$＞cos（$\frac{π}{2}$-t），即f（t）＞0．
综上，f（t）＞0，∴cos（cosx）＞sin（sinx）．

点评本题考查了三角函数的性质，使用换元法转化成函数是关键．

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