2023-2024学年度湘楚名校高一下学期5月联考(9215A)数学

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2023-2024学年度湘楚名校高一下学期5月联考(9215A)数学试卷答案

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12．在平面直角坐标系中，直线l过点P（2，$\sqrt{3}$）且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），直线l与曲线C相交于A，B两点；
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若$|AB|=\sqrt{13}$，求直线l的倾斜角α的值．

分析设出椭圆方程，代入点的坐标，即可得出椭圆方程．

解答解：由题意，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=t（t＞0），
∵椭圆过点M（1，2），∴t=$\frac{1}{12}+\frac{4}{6}$=$\frac{3}{4}$，∴椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{9}}$=1，
当焦点在y轴上时，设方程为$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{6}$=m（m＞0），
∵椭圆过点M（1，2），∴m=$\frac{4}{12}+\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$，∴椭圆标准方程为$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1
故所求椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{9}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

点评本题考查椭圆的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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