2024年高考真题(天津卷)数学

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2024年高考真题(天津卷)数学试卷答案

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10.如图a为一列简谐横波在t=0.5s时刻的波形图,介质中的两个质点P、◎此时刻离开平衡位置的位移分别为0.5A、-0.5A,,图b是该波质点◎的振动图像。下列说法正确的是()

分析（1）直线l消去参数t，得直线l的普通方程，圆C化为普通方程，求出圆心C到直线l：x+y-3=0的距离，由此能证明直线l与圆C相交．
（2）圆心坐标，直线l的方程求出AB长，当点P不在直线AB上，则这、A、B构成一个三角形，从而||PA|-|PB||＜|AB|，当点P在直线AB上，||PA|-|PB||≤|AB|，由此能求出||PA|-|PB||的最大值．

解答证明：（1）直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.，（t为参数）$中，
消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-3=0．
圆$C：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\y=1+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.，（θ为参数）$化为普通方程，
得：（x-1）²+（y-1）²=2，圆心C（1，1），半径r=$\sqrt{2}$，
圆心C（1，1）到直线l：x+y-3=0的距离：d=$\frac{|1+1-3|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$＜r=\sqrt{2}$，
∴直线l与圆C相交．
解：（2）过圆心C作CD⊥AB，交AB于D，由（2）得CD=d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=2AD=2$\sqrt{{r}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=2×$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{6}$．
当点P不在直线AB上，则这、A、B构成一个三角形，∴||PA|-|PB||＜|AB|，
当点P在直线AB上，||PA|-|PB||≤|AB|=$\sqrt{6}$，
∴||PA|-|PB||的最大值为$\sqrt{6}$．

点评本题考查直线与圆相交的证明，考查两线段之差的绝对值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

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