百师联盟 2024年辽宁高二6月联考数学

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百师联盟 2024年辽宁高二6月联考数学试卷答案

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4．已知a为常数，函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）
①求实数a的取值范围；
②求证：x₁x₂＞1．

分析（1）根据奇函数定义域关于原点对称，f（0）=0，求出m，b的值；
（2）利用定义法任取实数x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＞x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的正负即可；
（3）由题意可知对任意的t∈[-2，2]，-1＜tx-2＜1，可以看成关于t的一次函数，可得-1＜-2x-2＜1且-1＜2x-2＜1，解得x无解．

解答解：（1）函数f（x）是定义在（m，1）上的奇函数，
∴m=-1．由f（0）=0，得b=0，
又由f（2）=$\frac{2a}{5}$=$\frac{4}{5}$，得a=2．
即f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，定义域为（-1，1）┉．┉┉（4分）
（2）判定：函数f（x）在（-1，1）上单调递增．┉┉┉（5分）
证明：任取实数x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＞x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$．┉┉┉（6分）
∵-1＜x₂＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$＞0，
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增；（8分）
（3）函数f（x）定义域为（-1，1）
∴对任意的t∈[-2，2]，-1＜tx-2＜1，
∴-1＜-2x-2＜1且-1＜2x-2＜1，
∴x无解，故这样的x不存在．

点评考查了奇函数的性质，单调性的证明和复合函数单调性问题．

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