辽宁省高一大连市2023~2024学年度第二学期期末考试数学

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辽宁省高一大连市2023~2024学年度第二学期期末考试数学试卷答案

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7.风力发电是一种绿色环保的清洁能源,统计显示,我国风力发电规模已经连续12年位居世界第一。根据电磁感应的基本原理,风力发电可建立如下模型,叶片长度为l的风轮机在风的驱动下,带动内部矩形线圈在匀强磁场中绕垂直磁场的轴匀速转动产生交流电。假设空气密度为风速为发电机将风的动能转化为电能的效率为发电机正常工作时线圈中产生如图乙所示的正弦交流电,下列说法正确的是A.发电机的发电功率P=12t^2v^3B.若风速加倍,则发电机的功率将变为8倍C发电机线圈输出电压的有效值为UD.t=t1时,发电机线圈中磁通量的变化率最大

分析（1）由解析式求出定义域和f′（x），化简后对k进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，分别求出函数的增区间、减区间；
（2）由（1）求函数的最小值，由条件列出不等式求出k的范围，对k进行分类讨论，并分别判断在区间$（{1，\sqrt{e}}]$上的单调性，求出f（1）和f（$\sqrt{e}$）、判断出符号，即可证明结论．

解答解：（1）由$f（x）=\frac{{x}^{2}}{2}-klnx$得，函数的定义域是（0，+∞），
$f′（x）=x-\frac{k}{x}$=$\frac{{x}^{2}-k}{x}$；
①当k≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
此时f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；
②当k＞0时，由f′（x）=0得x=$\sqrt{k}$或x=-$\sqrt{k}$（舍去），
当$x＞\sqrt{k}$时，f′（x）＞0，
当$0＜x＜\sqrt{k}$时，令f′（x）＜0，
所以f（x）的递减区间是（0，$\sqrt{k}$），递增区间是（$\sqrt{k}，+∞$）；…（6分）
证明：（2）由（1）知，当k＞0时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为
f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k}{2}-k•ln\sqrt{k}$=$\frac{k（1-lnk）}{2}$．
因为f（x）存在零点，所以$\frac{k（1-lnk）}{2}≤0$，解得k≥e．
当k=e时，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）上递减，且f（$\sqrt{e}$）=0，
所以x=$\sqrt{e}$是f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上的唯一零点．
当k＞e时，f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上单调递减，
且f（1）=$\frac{1}{2}＞$0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-k}{2}$＜0，
所以f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点．
综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点…（12分）

点评本题考查求导公式、法则，导数与函数单调性的关系，以及函数零点的转化，考查分类讨论思想，化简、变形能力，属于中档题．

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