重庆南开中学高2025届高三（上）8月练习数学

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重庆南开中学高2025届高三（上）8月练习数学试卷答案

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19．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，并且对于所有的正整数n，a_n与1的等差中项等于S_n与1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式b_n=ln（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），记T_n是{b_n}的前n项和，试比较T_n与$\frac{1}{2}$lna_n+1的大小并证明你的结论．

分析（1）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）令a_n≥0．解得n，即可得出．

解答解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=-1，a₆=-7．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=-1}\\{{a}_{1}+5d=-7}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=-2．
∴a_n=3-2（n-1）=5-2n．
（2）令a_n=5-2n≥0．解得n≤2．
∴当n=2时，{a_n}前n项和S_n取得最大值S₂=3+1=4．

点评本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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