湖北省黄冈市2024年秋季七年级入学质量检测(2024年春湖北省知名中小学教联体联盟)数学

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湖北省黄冈市2024年秋季七年级入学质量检测(2024年春湖北省知名中小学教联体联盟)数学试卷答案

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13.(11分)花样滑冰是冬奥会上最受欢迎的运动项目之一。某次训练中一运动员甲以自己为轴拉着另一运动员乙做圆锥摆运动的简化图如图所示。若乙的质量m=42kg,,伸直的手臂与竖直方向的夹角=37^,,转动过程中乙的重心做匀速圆周运动的半径r=1.2m。。取重力加速度大小g=10m/s^2,37^=0.6,37^=0.8。求:(1)乙恰好能离开冰面时,乙的角速度大小ω;(2)当乙的角速度大小'=10rad/s时,甲对乙拉力的大小F

分析4S²_n-2=a²_n+$\frac{1}{{{a}^{2}}_{n}}$（n∈N^*），化为$（2{S}_{n}）^{2}$=$（{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}$，根据数列{a_n}是正项数列，可得2S_n=${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$，当n=1时，解得a₁=1；当n=2时，可得a₂=$\sqrt{2}$-1；同理可得：a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．验证即可得出．

解答解：∵4S²_n-2=a²_n+$\frac{1}{{{a}^{2}}_{n}}$（n∈N^*），
∴$（2{S}_{n}）^{2}$=$（{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}$，
∵数列{a_n}是正项数列，
∴2S_n=${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$，
当n=1时，2a₁=a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$，解得a₁=1；
当n=2时，2（a₁+a₂）=${a}_{2}+\frac{1}{{a}_{2}}$，解得a₂=$\sqrt{2}$-1；
同理可得：a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，
猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
可得S_n=$\sqrt{n}$，代入2S_n=${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$验证成立，
∴a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，S_n=$\sqrt{n}$．
∴S₂₀₁₄=$\sqrt{2014}$，
故选：D．

点评本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想归纳验证推理能力与计算能力，属于中档题．

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