武汉市常青联合体2023-2024学年度第二学期高一期中考试数学

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武汉市常青联合体2023-2024学年度第二学期高一期中考试数学试卷答案

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15．设命题p：?x∈R，x²-4x+2m≥0（其中m为常数）则“m≥1”是“命题p为真命题”的（　　）

	A．	充分不必要条件		B．	必要不充分条件
	C．	充分且必要条件		D．	既不充分也不必要条件

分析（1）直线l中消去参数，能求出直线l的普通方程，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的参数方程．
（2）设曲线C上的点P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），求出曲线C上的点P到直线l的距离，利用三角函数的性质能求出曲线C上的点到直线l的最大距离．

解答解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），
∴直线l中消去参数，得直线l的普通方程为l：x-y-1=0，
∵曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴曲线C的直角坐标方程为3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）．（5分）
（2）设曲线C上的点P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），
则曲线C上的点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ-\sqrt{3}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|\sqrt{7}sin（θ+α）-1|$≤$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．
∴曲线C上的点到直线l的最大距离为$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．（10分）

点评本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查点到直线的距离的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

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