陕西省韩城市2023~2024学年度高二第二学期期中测试数学

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陕西省韩城市2023~2024学年度高二第二学期期中测试数学试卷答案

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18．已知三棱锥A-BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点AC=BD=2，且直线AC，BD所成的角为60°，则线段EF的长度为（　　）

A．

1

B．

$\sqrt{2}$

C．

1或$\sqrt{2}$

D．

1或$\sqrt{3}$

分析$20a•\overrightarrow{BC}+15b•\overrightarrow{CA}+12c•\overrightarrow{AB}=\vec0$，化为（20a-15b）$\overrightarrow{AC}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，根据$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$不共线，可得20a-15b=12c-20a=0，再利用余弦定理即可得出．

解答解：∵$20a•\overrightarrow{BC}+15b•\overrightarrow{CA}+12c•\overrightarrow{AB}=\vec0$，
∴20a$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=0，
化为（20a-15b）$\overrightarrow{AC}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$不共线，
∴20a-15b=12c-20a=0，
化为b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a．
∴边a最小，因此角A最小，
由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{16}{9}{a}^{2}+\frac{25}{9}{a}^{2}-{a}^{2}}{2×\frac{4}{3}a×\frac{5}{3}a}$=$\frac{4}{5}$．
∴A=arccos$\frac{4}{5}$．
故答案为：arccos$\frac{4}{5}$．

点评本题考查了向量三角形法则、向量共线共面定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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