[咸阳三模]咸阳市2024年高考模拟检测(三)数学

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[咸阳三模]咸阳市2024年高考模拟检测(三)数学试卷答案

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7.如图,一上端开口、下端封闭的细长玻璃管竖直放置.玻璃管的下部封有长h1=25.0cm的空气柱,中间有一段长h2=25.0cm的水银柱,上部空气柱的长度h3=60cm.已知大气压强为;p0=75.0cmHg.现将一活塞(图中未画出)从玻璃管开口处缓慢往下推,使管下部空气柱长度变为20.0cm.假设活塞下推过程中没有漏气,则活塞下推的距离为A.20cmB.15cmC.10cmD.35cm

分析由题意可得$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函数，从而可得f′（x）在（0，+∞）上是增函数，从而解得．

解答解：∵$（\frac{f（x）}{x}）′$=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$＞0，
∴$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函数，
∵xf′（x）-f（x）=xe^x，
∴f′（x）=$\frac{f（x）}{x}$+e^x，
∵y=e^x在（0，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在（0，+∞）上是增函数，
又∵f′（1）=-3+e＜0，f′（2）=0+e²＞0，
故f′（x）在（0，+∞）上先负值，后正值；
故函数y=f（x）有极小值，无极大值，
故选A．

点评本题考查了导数的综合应用，关键在于构造函数$\frac{f（x）}{x}$．

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