辽宁省名校联盟2022年高一12月份联合考试数学考试试卷

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辽宁省名校联盟2022年高一12月份联合考试数学试卷答案

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9．已知$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-{x}^{n}}$存在，f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-{x}^{n}}$，则f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$．

分析由偶函数的定义和运用导数判断函数在[0，+∞）上的单调性，可将f（x）＜0转化为f（|x|）＜f（log₂3），化简为|x|＜log₂3，即可得到x的取值范围．

解答解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=2^x-3，
∴f′（x）=2^xln2＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
又f（log₂3）=0
∴f（x）＜0转化为f（|x|）＜f（log₂3）
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴|x|＜log₂3
∴-log₂3＜x＜log₂3．
故答案为：-log₂3＜x＜log₂3．

点评本题考查函数的性质及运用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，注意函数的定义域，注意运用导数判断单调性，属于中档题．