银川一中2023届高三年级第四次月考数学考试试卷

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银川一中2023届高三年级第四次月考数学试卷答案

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13．设定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：
（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；      
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
则下列判断正确的序号有①②③．
①f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；
②函数g（x）=x在区间[0，1]上是“友谊函数”；
③若f（x）为“友谊函数”，且0≤x₁＜x₂≤1，则f（x₁）≤f（x₂）．

分析根据向量加法的平行四边法则，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OE}$，而$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OF}$，可以推出$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）．

解答证明：如右图，O为任意一点，F为AB的中点，
以OA，OB为邻边构造平行四边形OAEB，
其对角线AB，OE互相平分，
即F为AB的中点，也是OE的中点，
根据向量加法的平行四边法则，
$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OE}$，
而$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OF}$，
所以，$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），即证．

点评本题主要考查了向量加法的几何意义，涉及平行四边形法则和平行四边形的性质，属于基础题．