2023年全国高考·仿真模拟卷(二)2数学考试试卷

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2023年全国高考·仿真模拟卷(二)2数学试卷答案

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5．二次函数y=kx²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n+1，n为正整数，a₁=$\frac{1}{3}$，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₅=$\frac{31}{48}$．

分析由余弦定理得AB=$\sqrt{7}$，从而得到BD=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，∠BCD=60°，再由正弦定理得sin∠CDB=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，由此能求出cos∠CDB的值．

解答解：∵△ABC中，AC=2，BC=1，∠ACB=$\frac{2π}{3}$，
∴AB²=BC²+AC²-2•BC•AC•cos∠ACB=1+4-2×$1×2×（-\frac{1}{2}）$=7，∴AB=$\sqrt{7}$，
∵D为AB上的点，AD=2DB，
∴BD=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∵AC：BC=AD：BD=2：1，∴CD平分∠ACB，
∴∠BCD=60°，
根据正弦定理得$\frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{sin60°}$=$\frac{1}{sin∠CDB}$，解得sin∠CDB=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
∴cos∠CDB=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{21}}{14}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{14}$．

点评本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．