金考卷·百校联盟(新高考卷)2023年普通高等学校招生全国统一考试 领航卷7(七)数学考试试卷

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金考卷·百校联盟(新高考卷)2023年普通高等学校招生全国统一考试 领航卷7(七)数学试卷答案

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4．已知正三棱锥P-ABC中，底边AB=8，顶角∠APB=90°，则过P、A、B、C四点的球体的表面积是（　　）

A．

384π

B．

192π

C．

96π

D．

24π

分析（1）运用椭圆的定义和范围，可得a+c=2+$\sqrt{2}$，bc=1，a²-b²=c²，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）由两直线垂直的条件可设直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由中点坐标公式，可得MN的中点，代入垂直平分线方程可得t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$，再由点到直线的距离公式，可得O到直线MN的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，可得△OMN的最大值．

解答解：（1）△MF₁F₂的周长是2$\sqrt{2}$+2，
即为|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，
由△MF₁F₂面积为$\frac{1}{2}$|y_M|•2c=c|y_M|≤bc，
即有bc=1，a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）线段MN的垂直平分线的方程是2λx-2y+1=0，
即有直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t，
代入椭圆方程可得，（2+λ²）y²-2λ²ty+λ²t²-2=0，
△=4λ⁴t²-4（2+λ²）（λ²t²-2）＞0，
y₁+y₂=$\frac{2{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$，
MN中点为（$\frac{2tλ}{2+{λ}^{2}}$，$\frac{{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$），
代入MN的垂直平分线可得，t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$，
即有y₁+y₂=-1，y₁y₂=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$=$\frac{（2-{λ}^{2}）^{2}}{4{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}$，
即有|MN|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{1-4•\frac{（2-{λ}^{2}）^{2}}{4{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}}$
=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{\frac{6{λ}^{2}-4}{{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}}$，
又O到直线MN的距离为d=$\frac{|λt|}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{2+{λ}^{2}}{2|λ|\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
则△0MN面积为S=$\frac{1}{2}$d•|MN|=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{\frac{（6{λ}^{2}-4）（2+{λ}^{2}）}{{λ}^{4}}}$
=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{6-\frac{8}{{λ}^{4}}+\frac{8}{{λ}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{8-8（\frac{1}{{λ}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}}$，
当λ=±$\sqrt{2}$，△OMN的面积取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，满足判别式大于0．
故△OMN的面积取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．