2023届湖北省高三10月联考(23-87C)数学考试试卷

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17．若y=f（x）与y=g（x）是[a，b]上的两条光滑曲线，则这两条曲线及x=a，x=b所围成的平面图形的面积为（　　）

A．

$f_a^b（f（x）-g（x））dx$

B．

$f_a^b（g（x）-f（x））dx$

C．

$f_a^b|{f（x）-g（x）}|dx$

D．

$|{f_a^b（f（x）-g（x））dx}|$

分析（Ⅰ）讨论去绝对值号化简可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2}-\frac{5}{4}，\;\;x＞1\\{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}，\;\;x≤1\end{array}\right.$，从而判断函数的单调性；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）得，${f_{max}}=f（t+2）={t^2}+5t+5$，讨论以确定最小值，从而可得$h（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}+5t+\frac{17}{4}，\;\;0＜t≤\frac{1}{2}\\6t+4，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}＜t≤1\\4t+6，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t＞1.\end{array}\right.$．

解答解：（Ⅰ） 由题意得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2}-\frac{5}{4}，\;\;x＞1\\{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}，\;\;x≤1\end{array}\right.$，
所以函数f（x）的单调递增区间为$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．
（Ⅱ） 由题意得${f_{max}}=f（t+2）={t^2}+5t+5$，
当$0＜t≤\frac{1}{2}$时，${f_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$，
当$\frac{1}{2}＜t≤1$时，${f_{min}}=f（t）={t^2}-t+1$，
当t＞1时，${f_{min}}=f（t）={t^2}+t-1$，
综上，$h（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}+5t+\frac{17}{4}，\;\;0＜t≤\frac{1}{2}\\6t+4，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}＜t≤1\\4t+6，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t＞1.\end{array}\right.$．

点评本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．