衡中同卷2022-2023学年度高三一轮复习滚动卷(新高考版X)四数学考试试卷

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18．已知非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线．若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$，求证：A，B，C，D四点共面．

分析作出三棱锥P-ABC，由底面△ABC是边长为3的正三角形，高PO=2$\sqrt{3}$，所有侧棱均相等，先求出AO的长，再由勾股定理求出侧棱长．

解答解：如图，∵三棱锥的底面△ABC是边长为3的正三角形，
高PO=2$\sqrt{3}$，所有侧棱均相等，D是BC中点，
∴AO=$\frac{2}{3}AD$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴侧棱长PA=$\sqrt{A{O}^{2}+P{O}^{2}}$=$\sqrt{3+12}$=$\sqrt{15}$．
故选：B．

点评本题考查三棱锥的侧棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．