MathsSPA092009年全国高中数学联合竞赛一试题

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2009年全国高中数学联合竞赛一试题一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。1、函数，且，则 2、已知直线和圆，点在直线上，点为圆上两点，在中，直线过圆心，则点横坐标的取值范围为 3、在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 4、若不等式对一切正整数都成立，则最小正整数的值为 5、椭圆（）上任意两点，若，则的最小值为 6、若关于的方程仅有一个实根，则实数的取值范围为 7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一个数是 （可以用指数表示）8、某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则他候车时间的数学期望为 （精确到分）二、解答题：本大题共3小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分14分）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由。10、（本题满分15分）已知（）是实数，方程有两个实根，数列满足，（）。求数列的通项公式（用表示）；若，求数列的前项和；11、（本题满分15分）求函数的最大和最小值。。