MathsSPA102010年全国高中数学联合竞赛二试题

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2010年全国高中数学联合竞赛二试题一、（本题满分40分）如图所示， 锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点.求证：若，则四点共圆。二、（本题满分40分）设是给定的正整数，。记，。证明：存在正整数，使得为一个整数。这里表示不小于实数的最小整数，例如，。三、（本题满分50分）给定整数，设正实数满足，记，。证明：。四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值和两个数中的一个，同时在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置。。