2023届先知新课标月考卷(2二)数学考试试卷

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7．求与椭圆$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{5}$=1有共同焦点，且过P（1，$\sqrt{6}$）的椭圆的标准方程．

分析（1）由截距不为0和截距为0两种情况分别讨论，能求出直线方程．
（2）当直线的斜率不存在时直线方程为x-5=0，成立；当直线斜率存在时，设其方程为kx-y+（10-5k）=0，由点到直线的距离公式，求出k=$\frac{3}{4}$，由此能求出直线方程．

解答（本题12分）
解：（1）若截距不为0，设直线的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{a}$=1，--（1分）
∵直线过点（-3，4），∴$\frac{-3}{a}$+$\frac{4}{a}$=1，解得a=1．--（2分）
此时直线方程为x+y-1=0．--（3分）
若截距为0，设直线方程为y=kx，
代入点（-3，4），有4=-3k，解得k=-$\frac{4}{3}$，--（4分）
此时直线方程为4x+3y=0．--（5分）
综上，所求直线方程为x+y-1=0或4x+3y=0．--（6分）
（2）由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x-5=0．--（8分）
当直线斜率存在时，设其方程为y-10=k（x-5），即kx-y+（10-5k）=0．--（9分）
由点到直线的距离公式，得$\frac{|10-5k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=5，解得k=$\frac{3}{4}$．--（10分）
此时直线方程为3x-4y+25=0．--（11分）
综上知，所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0．--（12分）

点评本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用，易错点是容易忽略直线的斜率不存在时的解．