MathsSPA102010年全国高中数学联合竞赛一试题

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2010年全国高中数学联合竞赛一试题一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、函数的值域为 2、已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 3、双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 4、已知数列是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则 5、函数（，且）在区间上的最大值为，则它在这个区间上的最小值为 6、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮另一个人投掷。则先投掷人获胜的概率为 7、正三棱柱的条棱长相等，是的中点，二面角的平面角为，则 8、方程满足的正整数解的个数是 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）已知函数，（），当时，求实数的最大值。10、（本题满分20分）已知抛物线上的两个动点和，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求的面积的最大值。11、（本题满分20分）证明：方程恰有一个实根，且存在唯一严格递增的正整数数列，使得。。