山西省高二2022~2023学年期中考试(23186B)数学考试试卷

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18．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=（p+q）a_n-pqa_n-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）若p=2，设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），证明：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）对任意的n∈N^*，设c_n=a_n+1-qa_n，证明：“数列{c_n}为常数列”的充要条件是“p=1”．

分析（1）证明$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共线即可；
（2）由A，B，P三点共线可知$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BP}$共线，列出方程组整理出x+y．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，∴A，B，D三点共线．
（2）$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=（x-1）$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$=x$\overrightarrow{OA}$+（y-1）$\overrightarrow{OB}$，
∵A，B，P三点共线，
∴?非零λ∈R使得$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{BP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=λx}\\{y=λ（y-1）}\end{array}\right.$，解得λ=$\frac{x-1}{x}=\frac{y}{y-1}$，
∴（x-1）（y-1）=xy，整理得x+y=1．

点评本题考查了平面向量的共线定理及其应用，用基向量表示出要证的共线向量是关键．